Multiphysikalische Simulationsmethoden für Lautsprecher – eine (un-)endliche Geschichte?

3. Juli 2014:

 

Erscheinen elektrodynamische Lautsprecher auf den ersten Blick als relativ einfache Baugruppen mit wenigen Bauteilen, trübt der Blick. Die Herausforderungen liegen im Detail! Denn: Neben verschiedenen physikalischen Gebieten, wie Elektromagnetismus, Mechanik, Akustik, Wärmeleitung, Strömung, die stark miteinander gekoppelt sind, müssen pfadabhängige dynamische Effekte und Nichtlinearitäten (inklusive Instabilitäten) in den einzelnen Gebieten berücksichtigt werden. Zusätzlich werden Werkstoffe mit stark unterschiedlichen Eigenschaften und unterschiedlichen Materialmodellen sowie unterschiedlichen Verbindungstechniken für die einzelnen Bauteile verwendet.

 

1. Theorie der multiphysikalischen Modellierung von Lautsprechern 

Bereits in den frühen 70er Jahren wurden im Rahmen von AES-Veranstaltungen erste Veröffentlichungen publiziert, die aussagten, dass ein Lautsprecher ein multiphysikalisches Bauteil darstellt. Diese Ansätze mündeten in den inzwischen als als Industriestandard etablierten „Thiele-Small-Parameter“ (R.E. Cooke, „Loudspeakers, An Anthology, Vol. 1-Vol 25 (1953-1977)“, AES Audio Engineering Society, New York 1978).

A.N. Thiele und R. H. Small entwickelten einen Satz von Parametern und eindimensionalen Gleichungen, die das Verhalten eines Lautsprechers in Wechselwirkung mit einem Gehäuse und der daraus resultierenden Schallabstrahlung beschreiben. Diese ersten Lumped Parameter-Modelle wurden über Jahrzehnte stetig weiterentwickelt und werden auch heute noch in erweiterter Form verwendet, insbesondere für die Vorauslegung. Besonders die Erweiterungen von W. Klippel zum Großsignalverhalten müssen in diesem Zusammenhang hervorgehoben werden („Diagnosis and Remedy of Nonlinearities in Electrodynamical Transducers“, 109th AES Convention, 2000).
Diese Lumped Parameter-Modelle haben allerdings alle den Nachteil, dass sie auf eindimensionalen, skalaren Gleichungen basieren, um ein physikalisches Gebiet zu beschreiben. Für den Bereich des Elektromagnetismus hat sich die Anwendung als sehr effizient herausgestellt. Für das mechanische und akustische (Luftschall)-Gebiet ergeben sich jedoch wesentliche Einschränkungen. So können beispielsweise für das mechanische System nur kolbenförmige Bewegungen beschrieben werden. Damit ist der anwendbare Frequenzbereich stark limitiert. Bei höheren Frequenzen ist das Schwingverhalten nicht mehr kolbenförmig und es muss ein multidimensionaler Modellierungsansatz verwendet werden.

Matrizenverfahren für die Modellierung von Lautsprechern als Konsequenz

Die zuvor beschriebenen Einschränkungen führten schließlich zur Entwicklung von Matrizenverfahren für die Modellierung von Lautsprechern.

Im Folgenden wird ein stark gekoppeltes elektro-mechno-akustisches Simulationsmodell erläutert, das auf einem Lumped Parameter-Modell für den Elektromagnetismus, einem Finite Elemente-Modell für die Mechanik und einem Finite bzw. Randelementemodell für den Luftschall basiert.

1.1 Elektromagnetismus des Motorsystems

Im Lumped Parameter-Modell zur Beschreibung des Elektromagnetismus des Motorsystems ist die elektrische Kraft fe , die auf die Spule wirkt, unter Voraussetzung einer konstanten Spannung definiert als:

Dabei ist die Flussdichte, l die Länge der Spule in B, R der Gleichstromwiderstand, L die Induktivität und ve die Schnelle der Spule. fe,l ist die Lorentzkraft und fe, EMFist die elektromagnetische Rückhaltekraft.

1.2 Strukturdynamik

Die beschreibenden Gleichungen für die mechanischen Schwingungen im Frequenzbereich, diskretisiert mittels Finiter Elemente, können wie folgt beschrieben werden:

Auf den ersten Blick erscheinen Lumped Parameter-Modell und Matrixmodell sehr ähnlich. Der große Unterschied liegt jedoch in der Dimension des Systems. Im Finiten Elemente-Modell werden Steifigkeit, Masse und Dämpfung mittels Matrizen beschrieben. Km ist die Steifigkeitsmatrix, Dm ist die Dämpfungsmatrix und Mm ist die Massenmatrix. um ist der Vektor der Verschiebungen und fm ist der Vektor der mechanischen Kräfte, der das System anregt. ω ist die Kreisfrequenz. Typischerweise liegt die Dimension bei mehreren tausend Freiheitsgraden. Damit kann das Modell für den gesamten Hörbereich, also von 20 Hz bis 20 kHz, verwendet werden.

1.3 Luftschall

Matrizen zur Beschreibung eines physikalischen Gebietes werden auch für den Luftschall verwendet. Die Helmholtz-Gleichung, diskretisiert mittels Finiter- oder Randelemente, zur Beschreibung der dreidimensionalen Ausbreitung von Schallwellen im Frequenzbereich sieht dabei wie folgt aus:

Ba ist dabei eine akustische Koeffizientenmatrix, die den Zusammenhang zwischen dem Vektor des Schalldrucks pa und dem Vektor der Effekte einfallender Schallwellen fa beschreibt. Damit ist es möglich, die Schallabstrahlung inklusive Reflexion und Beugung unter detaillierter Berücksichtigung der (CAD-basierten) Geometrie zu beschreiben.

1.4 Das gekoppelte multiphysikalische System

Werden nun alle beschreibenden Gleichungen der verschiedenen physikalischen Gebiete miteinander verknüpft, erhalten wir das folgende gekoppelte Gleichungssystem zur Beschreibung der Multiphysik von elektroakustischen Wandlern im Frequenzbereich:

Cma und Cam sind die Koppelmatrizen, die den mechanischen und akustischen Bereich verbinden und entstehen unter der Annahme der Kontinuität von Schnelle und Druck im mechanischen und akustischen Gebiet der Nomalrichtung zur Koppelfläche. De ist eine elektromagnetische Dämpfungsmatrix, die von der elektromagnetischen Rückhaltekraft hergeleitet wurde.

An dieser Stelle muss jedoch darauf hingewiesen werde, dass alleine die Verwendung eines gekoppelten multiphysikalischen Modells noch nicht zu realistischen Simulationen führt. Zusätzlich werden genaue Beschreibungen der Materialeigenschaften im elektrischen und mechanischen Gebiet benötigt. Ein Schlüsselaspekt stellen hierbei speziell entwickelte Messverfahren zur Bestimmung der elektrischen und mechanischen Materialparameter dar.

2. Ein industrielles Beispiel einer realistischen Lautsprechersimulation

Während im „realen“ Entwicklungsprozess ein „realer“ Lautsprecher im schalltoten Raum vermessen wird, wird in der „virtuellen“ Welt ähnlich vorgegangen. Ein Beispiel eines typischen Basslautsprechers für die Wiedergabe von tiefen Frequenzen ist in Bild 3 abgebildet:

Die nachstehende Grafik (Bild 4) zeigt einen Vergleich von Messung und Simulation des abgestrahlten Schalldrucks der Lautsprecherachse basierend auf der zuvor beschriebenen Theorie auf. Die Genauigkeit der Simulation liegt innerhalb der Fertigungstoleranzen, wie das Ergebnis zeigt. Wir können dies daher als realistische Simulation bezeichnen.

3. Besondere Herausforderungen in den einzelnen physikalischen Gebieten

Die größte Herausforderung besteht nun in der starken Kopplung aller beteiligten physikalischen Gebiete.
Starke Kopplung bedeutet in diesem Zusammenhang die bi-direktionale Interaktion aller Gebiete.

Elektromagnetismus

Das Motorsystem kann typischerweise als axisymmetrische Struktur betrachtet werden. Daher können in den meisten Fällen 2D-Modelle eingesetzt werden. Wichtig ist die starke Kopplung der Schwingspule zum mechanischen Schwingsystem des Lautsprechers, die sich im Luftspalt des Magnetsystems bewegt. Für manche Motorstrukturen ist die Variation des magnetischen Feldes in axialer Richtung entscheidend. Es werden daher für die Entwicklung und Optimierung der Antriebssysteme typischerweise Finite Elemente-Methoden eingesetzt.

Bei großen Bewegungen der Schwingspule, wenn der Lautsprecher im Bereich der Nominalleistung betrieben wird, bewegt sich ein wesentlicher Teil der Spule außerhalb des Hauptfeldes. Es wird daher eine niedrigere mechanische Kraft induziert. Zusätzlich hängt die Induktivität der Spule von der Auslenkung ab. Diese nichtlinearen Effekte sind sehr wichtig und Ursache für unerwünschte Verzerrungen des abgestrahlten Schalldrucks. Folglich werden nichtlineare Modelle für die Vorhersage des Lautsprecherverhaltens bei großen Signalen benötigt.

Für Betrachtungen auf System- oder Subsystemebene – ohne Anforderung ein Motorsystem zu entwickeln und optimieren – können 1D-Lumped-Parameter-Modelle unter Berücksichtigung der wesentlichen Nichtlinearitäten sehr effizient verwendet werden, wie auch in Kapitel 1 beschrieben.

Strukturdynamik

Wie in Kapitel 1 erwähnt, muss der Strukturbereich mittels Finiter Elemente modelliert werden, um nicht-kolbenförmige Schwingungen berücksichtigen zu können. Da auch umlaufende Biegewellen auftreten können, müssen 2D-Modelle mit besonderer Vorsicht eingesetzt werden. In den meisten Fällen sollten daher 3D-Modelle verwendet werden. Eine weitere Herausforderung stellen dünnwandige Strukturen und Staubkappe dar. Eine 3D-Modellierung basierend auf Volumenelementen führt hier zu äußerst unhandlichen Modellen. Es werden daher typischerweise Schalenmodelle für die Modellierung des Schwingsystems verwendet.
Bei großen Signalen und damit einhergehend großen Auslenkungen entstehen wesentliche nichtlineare Effekte aufgrund des Materialverhaltens und der Veränderung der Geometrie, die zu einer deutlichen Änderung der mechanischen Steifigkeit und zu Verzerrungen in der Schallabstrahlung führen. Auch wenn wir ein absolut-lineares Material verwenden würden, ohne jegliche materielle Nichtlinearitäten und damit ohne Änderung der materiellen Steifigkeit, würde die Änderung der sogenannten geometrischen Steifigkeit zu Instabilitäten führen, wie beispielsweise Durchschlagen oder Verzweigen, die eine weitere Quelle starker Verzerrung darstellt.

Luftschall

Die besondere Herausforderung auf dem Gebiet des Luftschalls stellt die starke Kopplung zum Strukturbereich dar. Dies bedeutet, dass die Bewegung des Schwingsystems einen Einfluss auf das akustische Medium, also Luft – Schallwellen werden erzeugt – und umgekehrt die umgebende Luft das Schwingverhalten der Membrane beeinflusst. Man spricht daher auch vom Effekt der zusätzlichen Masse und Steifigkeit.

Bei bestimmten Anwendungen, wie beispielsweise dem Einsatz kleiner Wandler für mobile Geräte oder Hornlautsprecher für professionelle Beschallungsanlagen müssen auch viskose Effekte der Luft berücksichtigt werden. Schallenergie wird hierbei in Wärmeenergie umgewandelt. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von viskothermischen Effekten. Dies hat einen wesentlichen Einfluss auf das abgestrahlte Schallfeld und stellt eine weitere Quelle für nichtlineare Effekte dar.

4. Fazit

Die vorgenannten Erläuterungen veranschaulichen die besonderen Herausforderungen für realistische Lautsprechersimulationen. Ein Lautsprecher ist ein komplexes Bauteil und benötigt fortschrittliche CAE-Technologien zur Vorhersage der Performance.

Unsere Eingangsfrage „Multiphysikalische Simulationsmethoden für Lautsprecher – eine unendliche Geschichte? beantworten wir daher eindeutig mit JA, denn die multiphysikalische Simulation für Lautsprecher stellt uns immer wieder vor eine Vielzahl von Herausforderungen in jedem physikalischen Bereich. Aber: Heutige verfügbare Methoden unterstützen die virtuelle Produktentwicklung auf sehr effiziente Art. Die erfolgreiche Durchführung der Simulationen erfordert ein umfassendes Simulations- bzw. Modellierungswissen. Der Schlüsselfaktor ist die richtige „Modellierungsstrategie“.