Eine Schlüsseltechnologie für mehr Effizienz und Innovationskraft in der Entwicklung von leistungsfähigen Lautsprechern und Lautsprechersystemen ist das Computer-Aided Engineering (CAE). Wir möchten Ihnen heute aufzeigen, wie fortschrittliche CAE-Methoden die Strukturdynamik des Lautsprecher-Schwing-systems effizient voraussagen können.

Einsatz von Finite-Elemente-Modellen für die Analyse von Schwingsystemen
Die meisten der heutigen Lautsprecher werden als achsensymmetrische Systeme betrachtet, so dass vereinfacht 2D-Modelle angewendet werden könnten. Außer Acht gelassen wird dabei jedoch deren mehrdimensionales Schwingungsmuster, das einen signifikanten Einfluss auf die akustische Leistung hat. Abhängig von der Endanwendung, wie beispielsweise der Integration in nicht-achsensymmetrischen Gehäusen, kann sich ein nicht-achsensymmetrisches Verhalten ergeben, so dass 3D-Modelle angewendet werden müssen. Daher sind 3D Finite-Elemente-Modelle für die Analyse von komplexen Schwingungssystemen und deren Optimierung äußerst wertvoll und sehr effiziente Entwicklungswerkzeuge.

Auf der Ebene von System- oder Sub-System-Simulationen, ohne das Ziel der Optimierung eines Schwingsystems, sind 1D-Lumped Modelle – Modellberechnungen, die sich auf eine homogene, räumliche Einheit beziehen – hoch effizient. Die grundlegenden Unterschiede von 1D-, 2D- oder 3D-Modellen in Bezug auf das Schwingungsverhalten erläutern wir Ihnen nachfolgend.

Theorie: Mathematische und physikalische Grundlagen der Strukturdynamik
Ein Lautsprecher basiert auf einer Schwingspule, die sich im Feld eines Magneten befindet. Sobald ein Signal durch die Spule fließt, baut sie ein elektromagnetisches Feld auf. Da der Magnet eines Lautsprechers fixiert ist, bewegt sich infolge der Wechselwirkung die Spule. Diese mechanische Bewegung wird auf die Membran übertragen. Der Lautsprecher wird folglich durch eine zeitharmonische Spannung angetrieben: V = V0exp(iωt).

Im Folgenden widmen wir uns mathematischen Grundlagen, die sich ausschließlich auf die mechanische Domäne mit Fokus auf lineare Effekte beziehen. Nicht betrachtet werden die elektromagnetische Analyse der Schwingspule und deren Antriebskraft, dass dieser Strom erzeugt. Details über die Beziehung zwischen der angelegten Spannung und der entstehenden Kraft finden Sie im Fachbeitrag: „Advanced CAE-based Simulations of Motor System“.

Die maßgebliche Gleichung für mechanische Schwingungen in der Frequenzdomäne, diskretisiert mittels FEM (Finite-Element-Methode) lautet:

Auf den ersten Blick scheint es kaum einen Unterschied zwischen den Grundgleichungen von Matrix-Verfahren und Lumped-Parameter-Modellen zu geben. Der weit größere Unterschied zeigt sich in der Dimension des Systems.
In der anzuwendenden Finite-Element-Gleichung werden Steifigkeit, Masse und Dämpfung über eine Matrix beschrieben. Km  ist die Steifigkeitsmatrix, Dm die Dämpfungsmatrix und Mm die Massenmatrix. Ferner ist um der Vektor von Verschiebungen und fm der Vektor der mechanischen Kräfte, der das System anregt. ω ist die Kreisfrequenz.

In der Regel besteht die Dimension aus mehreren tausenden Freiheitsgraden. Bei der grundlegenden Finite-Elemente-Gleichung handelt es sich nun tatsächlich um ein System von Gleichungen, das die mechanischen Schwingungen mit Bezug zu einer detaillierten Definition der Geometrie (CAD-Modell) beschreibt, diskretisiert über Finite Elemente. Somit ist es möglich, diese Modelle für den gesamten hörbaren Frequenzbereich zu verwenden. Der Bereich liegt typischerweise bei 20 Hz bis 20 kHz, dem hörbaren Bereich, in dem auch nicht-kolben und nicht-achsensymmetrische Bewegungsmuster auftreten.

Für ω = 0 erhalten wir eine statische Lösung und demzufolge die „lumped“ = 1D-Steifigkeit des Systems. Diese wird in der Regel als Kms bezeichnet. Sie bzw. ihr Kehrwert, die Nachgiebigkeit Cms., können somit vorausberechnet werden.

Aufbau von Simulationsmodellen für Schwingungssysteme 

Aufbau eines 2D-Modells
Das Einrichten eines 2D-Modells ist unkompliziert und relativ einfach. Ausgangspunkt ist ein (bereinigter) 2D-Querschnitt, wie in der nachfolgenden Abbildung veranschaulicht.

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Abbildung 1: 2D-Querschnitt eines typischen Schwingungssystems

2D-Lösungen
Durch Aufbringen einer Kraft von 1 [N] an der Schwingspule und vorausgesetzt ω = 0 (d. h. eine statische Lösung) erhalten wir das folgende Bewegungsmuster des Schwingungssystems:
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Abbildung 2: Kraftaufwendung des Schwingungssystems um 1 [N].

Die Verschiebung an der Schwingspule beträgt 0,576 [mm]. Somit ergibt sich eine lumped Steifigkeit Kms = 1 [N] / 0,576 [mm] = 1,74 [N / mm]. Dies steht in guter Übereinstimmung mit dem realen Messwert von 1,67 [N / mm]. Mithilfe der Durchführung einer dynamischen Eigenwertanalyse erhalten wir die erste Eigenfrequenz im Vakuum, d. h. ohne den Einfluss der Umgebungsluft bei 37,0 [Hz]. Diese wiederum stimmt nahezu perfekt mit einem Messwert von 36,9 [Hz] überein.

Die folgende Abbildung zeigt das Verschiebungsmuster der ersten Eigenfrequenz, dem sogenannten „Kolbenmodus“ eines Lautsprechers.

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Abbildung 3: Verschiebungsmuster der ersten Eigenfrequenz

Im nächsten Schritt wird eine Frequenzanalyse durchgeführt. Dabei wird eine konstante Kraft von 1 [N] in der Frequenzdomäne angewendet.

Durch die Auswertung des Verschiebungsverlaufs über die Frequenz an einem Punkt der Schwingspule erhalten wir eine Beschreibung der 1D dynamischen Steifigkeit als Funktion der Frequenz, siehe Abbildung 4.

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Abbildung 4: Verschiebung der Schwingspule über die Frequenz

Die folgende Abbildung veranschaulicht die Betriebsschwingform des Schwingsystems bei 1.400 [Hz]:

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Die Biegeschwingung im Konus verursacht eine Störung in der Frequenzantwort.

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Abbildung 5: SPL auf der Lautsprecherachse über der Frequenz

Abbildung 5 zeigt den Schalldruckpegel (SPL) in [dB] in einem Abstand von 1 [m] auf der Lautsprecherachse für Simulation und Messung. Anzumerken ist, dass Details zur Kopplung an die Umgebungsluft in dieser Analyse zusätzlich berücksichtigt sind. Diese Ergebnisse beruhen auf einem vollständig multiphysikalisch gekoppelten Modell.

3D-Lösungen
In ähnlicher Weise kann ein 3D-Modell verwendet werden, um nicht achsensymmetrische Ergebnisse abzuleiten. Allerdings führt die Erstellung einer volumenbasierten 3D-Geometrie basierend auf einem 2D-Querschnitt nicht zu zufriedenstellenden Modellen. Ein flächenbasiertes Modell, das Schalen-Finite-Elemente nutzt, führt hierbei zu hocheffizienten 3D-Simulationen.

Der Ausgangspunkt hierfür bildet ein (bereinigtes) CAD-basiertes Flächenmodell des Schwingungssystems, wie in der nachfolgenden Abbildung veranschaulicht.

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Abbildung 6: 3D flächenbasiertes CAD-Modell des Schwingungssystems

Der große Vorteil der 3D-Modelle zeigt sich darin, dass wir zusätzliche Ergebnisse bezüglich nicht-achsensymmetrischen Schwingformen erhalten. Diese werden in der Regel durch nicht-achsensymmetrische Gehäuse verursacht.

Am wichtigsten ist das sogenannte „rocking“ der Lautsprecher, wie in Abbildung 7 demonstriert. Der Lautsprecher schwingt um eine Querachse. Dieser Effekt führt zu starken Schwankungen des abgestrahlten Schalldrucks und kann auch zu starken Verzerrungen führen, wenn die Schwingspule den Magneten berührt.

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Abbildung 7: „Rocking“ des Schwingungssystems

Voraussage der strukturellen Dynamik von Schwingungssystemen dank CAE-Methoden
Die vorgenannten Ausführungen veranschaulichen nachweislich, dass fortschrittliche CAE-Methoden die strukturelle Dynamik der Schwingungssysteme von Lautsprechern effizient voraussagen können. Die Analysen belegen, dass auch komplexe Simulationen zum Schwingungssystem von Lautsprechern bereits in einem sehr frühen Stadium, in dem noch keine physischen Prototypen existieren, realistische Ergebnisse zeigen.

Paradebeispiel für Virtuelle Produktentwicklung (VPD)
Die Audio-Industrie, wie auch die meisten anderen Industrien, werden permanent damit konfrontiert, die Engineering-Effizienz zu verbessern und stetig innovative Entwicklungen voranzutreiben, darunter auch Lautsprecher mit hervorragenden Klangeigenschaften möglichst schnell zu entwickeln. Eine Schlüsseltechnologie für mehr Effizienz und Innovationskraft in der Entwicklung fortschrittlicher Lautsprecher und Lautsprechersysteme ist das Computer-Aided Engineering (CAE).

CAE basiert auf Simulation und Analyse der funktionalen Eigenschaften von Produkten und spielt bereits über mehr als zwei Jahrzehnte eine Schlüsselrolle in der Produktentwicklung. CAE-Methoden werden heutzutage üblicherweise in einem sehr frühen Stadium des Entwicklungsprozesses eingesetzt, von ersten Konzeptstudien über das Detail-Engineering hin zur finalen Produktentwicklung und Markteintritt, einschließlich der Modellierung des Herstellungsprozesses. In diesem Zusammenhang wird auch oft der Begriff der virtuellen Produktentwicklung (VPD) verwendet.

Die zuvor aufgezeigte CAE-basierende Simulation des Schwingungssystems von Lautsprechern ist ein weiteres Paradebeispiel für eine erfolgreiche virtuelle Produktentwicklung. Sie zeigt, dass selbst CAE-basierte Simulationen in höchst komplexem Umfeld die Entwicklungsingenieure in der Konzeptphase mit realitätsnahen Ergebnissen unterstützen können. Die Ingenieure erzielen dadurch mehr Freiheit in Entwicklungsentscheidungen, Entwicklungsänderungen erzeugen weniger Kosten und können auch in kürzerer Zeit umgesetzt werden.

Weitere Informationen zum Einsatz fortschrittlicher CAE-basierender Simulationen von Schwingungssystemen finden Sie im gemeinsamen Fachbeitrag von Konzept-X, JJR Acoustics und Moca Audio, der anlässlich der 139th AES in New York, USA, vorgestellt wurde.